Aula 01 - Limites - Conceito Intuitivo, Propriedades Operatórias, Formas Indeterminadas e Assíntotas

---

📌 Sumário da Aula

1. 1. A Noção Intuitiva de Limite e o Paradoxo da Vizinhança Perfurada
   • 1.1 A Noção Intuitiva
2. 2. A Formalização Rigorosa de Cauchy-Weierstrass $(\varepsilon - \delta)$
   • Mecânica Operacional:
3. 3. Limites Laterais e Critério Fundamental de Existência
   • 3.1 Definições Direcionais
4. 4. Propriedades Operatórias e Substituição Direta
5. 5. Formas Indeterminadas e Álgebra de Resolução
   • 5.1 Fatoração de Polinômios
   • 5.2 Racionalização por Conjugado
6. 6. Limites Infinitos, Limites no Infinito e Teoria Completa de Assíntotas
   • 6.1 Assíntotas Verticais
   • 6.2 Assíntotas Horizontais
   • 6.3 Assíntotas Inclinadas (Oblíquas)
7. 7. Diagrama Técnico Síntese
8. 8. Estudo de Caso e Aplicação Numérica
9. 9. Resolução Integral das 24 Questões de Fixação da Apostila
   • Questão 1 (Módulo 1 — Simbologia de Limite Lateral Inferior)
   • Questão 2 (Módulo 1 — Conceito Intuitivo de Limite)
   • Questão 3 (Módulo 1 — Análise Gráfica de Limite)
   • Questão 4 (Módulo 1 — Limites Laterais em $x \to 0$)
   • Questão 5 (Módulo 1 — Determinação de Constante para Existência)
   • Questão 6 (Módulo 1 — Definição Épsilon-Delta)
   • Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Limite em Função por Partes)
   • Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Simbologia de Aproximação Superior)
   • Questão 9 (Módulo 2 — Produto de Funções Contínuas)
   • Questão 10 (Módulo 2 — Limite no Infinito com Radicais)
   • Questão 11 (Módulo 2 — Limite com Grau Predominante em Zero)
   • Questão 12 (Módulo 2 — Limite com Função Exponencial)
   • Questão 13 (Módulo 2 — Substituição Polinomial Básica)
   • Questão 14 (Módulo 2 — Indeterminação Racional (0/0))
   • Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Quociente em $x \to 1$)
   • Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Raiz Cúbica no Infinito)
   • Questão 17 (Módulo 3 — Propriedade de Continuidade)
   • Questão 18 (Módulo 3 — Continuidade com Parâmetros $p$ e $k$)
   • Questão 19 (Módulo 3 — Assíntota Horizontal de Função Racional)
   • Questão 20 (Módulo 3 — Inexistência de Assíntota Vertical)
   • Questão 21 (Módulo 3 — Comportamento Assintótico Misto)
   • Questão 22 (Módulo 3 — Assíntota Inclinada)
   • Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Continuidade no Intervalo $(2, 5)$)
   • Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Assíntota Vertical Hiperbólica)
10. 10. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

---

1. A Noção Intuitiva de Limite e o Paradoxo da Vizinhança Perfurada

Na física e na engenharia elétrica, é recorrente a necessidade de investigar o comportamento de uma grandeza (como corrente, tensão, fluxo magnético ou ganho) quando a variável independente se aproxima infinitamente de um limiar crítico, sem necessariamente coincidir com esse ponto.

1.1 A Noção Intuitiva

Seja $f(x)$ uma função real. Dizer que: ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ significa que, à medida que a variável $x$ assume valores cada vez mais próximos de $a$ (tanto por valores menores quanto maiores, mas com $x\ne a$), os valores funcionais correspondentes $f(x)$ tornam-se arbitrariamente próximos do número real $L$.

O Princípio da Vizinhança Perfurada

O valor funcional no ponto exato $x=a$ (isto é, $f(a)$) é completamente irrelevante para a determinação de ${\lim }_{x\to a}f(x)$. O limite descreve a tendência nos arredores periféricos do ponto; $f(a)$ pode existir e ser igual a $L$, pode existir e ser diferente de $L$, ou pode simplesmente ser indefinido no domínio real.

---

2. A Formalização Rigorosa de Cauchy-Weierstrass $(\epsilon -\delta )$

A fundamentação analítica moderna substitui termos vagos como “aproximar-se” por desigualdades estritas de distâncias no espaço métrico real $\mathbb{R}$:

Definição Épsilon-Delta

Seja $f:D\subset \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ e seja $a$ um ponto de acumulação de $D$. Afirmar que ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ significa que: $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0\text{tal que}0<|x-a|<\delta ⟹|f(x)-L|<\epsilon$

Mecânica Operacional:

1. O analista propõe uma margem de erro vertical $\epsilon >0$, estabelecendo a faixa de tolerância $(L-\epsilon ,L+\epsilon )$.
2. O engenheiro deve ser capaz de fornecer um raio horizontal $\delta >0$ tal que qualquer $x\in (a-\delta ,a+\delta )$, com $x\ne a$, tenha sua imagem confinada dentro da faixa de tolerância.
3. Se para uma função $f(x)=8-x$ quando $x\to 4$ temos $L=4$: $|f(x)-L|=|(8-x)-4|=|4-x|=|x-4|<\epsilon$ Basta escolher diretamente $\delta =\epsilon$.

---

3. Limites Laterais e Critério Fundamental de Existência

Quando a função apresenta descontinuidades, ramos condicionais ou comportamentos assimétricos, a abordagem deve ser decomposta em trajetórias direcionais.

3.1 Definições Direcionais

• Limite Lateral pela Esquerda ($x\to a^{-}$): Aproximação feita exclusivamente através de valores estritamente inferiores ($x<a$): ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=L_1$
• Limite Lateral pela Direita ($x\to a^{+}$): Aproximação feita exclusivamente através de valores estritamente superiores ($x>a$): ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=L_2$

Teorema de Existência do Limite Bilateral

O limite bilateral ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existe se e somente se ambos os limites laterais existirem, forem finitos e convergirem para o mesmo número real: ${\lim }_{x\to a}f(x)=L⟺{\lim }_{x\to a^{-}}f(x)={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=L$ Caso ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)\ne {\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$, o limite bilateral inexiste ($\nexists {\lim }_{x\to a}f(x)$), configurando uma descontinuidade de salto.

---

4. Propriedades Operatórias e Substituição Direta

Sejam ${\lim }_{x\to a}f(x)=L_1$ e ${\lim }_{x\to a}g(x)=L_2$, com $L_1,L_2\in \mathbb{R}$:

1. Linearidade: ${\lim }_{x\to a}[\alpha f(x)\pm \beta g(x)]=\alpha L_1\pm \beta L_2,\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$.
2. Multiplicação: ${\lim }_{x\to a}[f(x)\cdot g(x)]=L_1\cdot L_2$.
3. Divisão: ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$, desde que $L_2\ne 0$.
4. Radiciação: ${\lim }_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L_1}$ (para $n$ par, exige-se $L_1>0$).
5. Composição Contínua: ${\lim }_{x\to a}\ln (f(x))=\ln \left({\lim }_{x\to a}f(x)\right)$, se $L_1>0$.

---

5. Formas Indeterminadas e Álgebra de Resolução

As situações mais importantes do cálculo ocorrem sob as formas indeterminadas $\left[\frac{0}{0}\right],\left[\frac{\infty }{\infty }\right],[0\cdot \infty ],[\infty -\infty ]$. A indeterminação não significa ausência de limite, mas sim a necessidade de manipulação algébrica prévia para simplificar o fator singular nulo.

5.1 Fatoração de Polinômios

Seja $f(x)=\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$ quando $x\to 2$:

• Substituição direta: $\frac{2^2-4}{2^2-2-2}=\left[\frac{0}{0}\right]$.
• Fatorando pelo teorema das raízes: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$
• Simplificando para $x\ne 2$: ${\lim }_{x\to 2}\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+1)}={\lim }_{x\to 2}\frac{x+2}{x+1}=\frac{2+2}{2+1}=\frac{4}{3}$

5.2 Racionalização por Conjugado

Para expressões com radicais que geram $\left[\frac{0}{0}\right]$, utiliza-se a identidade do produto notável $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+9}-3}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{(\sqrt{x+9}-3)(\sqrt{x+9}+3)}{x(\sqrt{x+9}+3)}={\lim }_{x\to 0}\frac{(x+9)-9}{x(\sqrt{x+9}+3)}={\lim }_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x+9}+3}=\frac{1}{6}$

---

6. Limites Infinitos, Limites no Infinito e Teoria Completa de Assíntotas

Uma reta é dita assíntota de uma curva se a distância perpendicular entre um ponto genérico da curva e a reta converge a zero à medida que o ponto se afasta indefinidamente ao longo do gráfico.

6.1 Assíntotas Verticais

Ocorrem tipicamente nos zeros do denominador de frações irredutíveis. Para $h(x)=\frac{1}{x-5}$:

• ${\lim }_{x\to 5^{+}}\frac{1}{x-5}=+\infty$
• ${\lim }_{x\to 5^{-}}\frac{1}{x-5}=-\infty$ Logo, a reta vertical $x=5$ é assíntota vertical bilateral.

6.2 Assíntotas Horizontais

Descrevem o regime permanente quando a variável independente cresce sem limites. Para $g(x)=\frac{3x^2+8}{x^2-1}$: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{3x^2+8}{x^2-1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{3+\frac{8}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{3+0}{1-0}=3⟹\text{Assıˊntota Horizontal: }y=3$

6.3 Assíntotas Inclinadas (Oblíquas)

Ocorrem quando uma função racional possui o grau do numerador exatamente uma unidade maior que o do denominador, ou em funções transcendentes assintóticas: $f(x)=\arctan (e^{-x})+x$

1. Cálculo do coeficiente angular $m$: $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\left[\frac{\arctan (e^{-x})}{x}+1\right]=\frac{0}{\infty }+1=1$
2. Cálculo do coeficiente linear $b$: $b={\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-1\cdot x]={\lim }_{x\to +\infty }\arctan (e^{-x})=\arctan (0)=0$ Portanto, a assíntota inclinada é a reta bissetriz $y=x$.

---

7. Diagrama Técnico Síntese

Abaixo, o diagrama consolida visualmente os limites laterais com descontinuidade, a convergência para assíntotas horizontais, as explosões para assíntotas verticais e o acoplamento oblíquo:

---

8. Estudo de Caso e Aplicação Numérica

O script a seguir implementa as operações fundamentais estudadas na apostila usando a biblioteca de matemática simbólica sympy, auditando os cálculos de limites e assíntotas:

Parâmetros de Projeto e Considerações Analíticas:

• 1. Indeterminação 0/0 racional
• 2. Limite no infinito com radicais
• 3. Limite exponencial infinito
• 4. Assíntota Horizontal

---

9. Resolução Integral das 24 Questões de Fixação da Apostila

Todas as 24 Questões de Fixação da Apostila 01 (Módulos 1, 2 e 3) estão resolvidas passo a passo abaixo.

---

Questão 1 (Módulo 1 — Simbologia de Limite Lateral Inferior)

Qual é a representação simbólica correta para representar o limite da função $h(z)$ quando $z$ tende a um valor $k$, por valores inferiores?

• (A) ${\lim }_{z\to k^{-}}h(z)$
• (B) ${\lim }_{z\to k^{+}}h(z)$
• (C) ${\lim }_{z\to k}h(z)$
• (D) ${\lim }_{z\to -k}h(z)$
• (E) ${\lim }_{z\to +k}h(z)$

Resolução Passo a Passo

Na notação internacional de cálculo diferencial, a aproximação por valores estritamente inferiores à esquerda do ponto de acumulação ($z<k$) é indexada com o sinal de menos sobrescrito ao ponto de convergência: ${\lim }_{z\to k^{-}}h(z)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 2 (Módulo 1 — Conceito Intuitivo de Limite)

Aplicando o conceito intuitivo de limite, determine, caso exista, o valor do limite de: $f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}$ respectivamente, para quando a variável independente $x$ tende para 3 e para quando $x$ tende para 4.

• (A) 6 e 7
• (B) 0 e 7
• (C) Não existe e 7
• (D) 6 e Não existe
• (E) 0 e 0

Resolução Passo a Passo

1. Para $x\to 3$: Substituição direta resulta em $\left[\frac{0}{0}\right]$. Fatorando a diferença de quadrados no numerador: $x^2-9=(x-3)(x+3)$ Para $x\ne 3$: ${\lim }_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}={\lim }_{x\to 3}(x+3)=3+3=6$

2. Para $x\to 4$: A função é racional e seu denominador é não-nulo ($4-3=1\ne 0$). Aplicando substituição direta: ${\lim }_{x\to 4}\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{4^2-9}{4-3}=\frac{16-9}{1}=7$

Portanto, os limites valem respectivamente 6 e 7.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 3 (Módulo 1 — Análise Gráfica de Limite)

Seja $h(x)$, cujo gráfico apresenta descontinuidade de salto em $x=-2$, onde pela esquerda aproxima-se de $2,5$ e pela direita aproxima-se de $4$. Utilizando o conceito intuitivo de limite, determine, caso exista, o valor do limite de $h(x)$ quando $x$ tende a $-2$.

• (A) 7,5
• (B) 4
• (C) 2,5
• (D) Não existe
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Pelo teorema fundamental da existência, o limite bilateral ${\lim }_{x\to a}h(x)$ só existe se os limites laterais coincidirem: ${\lim }_{x\to -2^{-}}h(x)=2,5\text{e}{\lim }_{x\to -2^{+}}h(x)=4$ Como $2,5\ne 4$, os limites laterais são distintos, logo o limite bilateral não existe.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D (Não existe).

---

Questão 4 (Módulo 1 — Limites Laterais em $x\to 0$)

Utilizando o conceito intuitivo de limite, determine os limites laterais de $f(x)$ quando $x$ tende a $0$ por valores superiores e por inferiores, onde $f(x)=3x-1$ para $x<0$ e $f(x)=x+3$ para $x\ge 0$.

• (A) 3 e -1
• (B) -1 e 3
• (C) 3 e 3
• (D) -1 e -1
• (E) 0 e 0

Resolução Passo a Passo

• Valores superiores ($x\to 0^{+}$): Ramo para $x\ge 0$: ${\lim }_{x\to 0^{+}}(x+3)=0+3=3$
• Valores inferiores ($x\to 0^{-}$): Ramo para $x<0$: ${\lim }_{x\to 0^{-}}(3x-1)=3(0)-1=-1$

Portanto, respectivamente para valores superiores e inferiores, os valores são 3 e -1.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (3 e -1).

---

Questão 5 (Módulo 1 — Determinação de Constante para Existência)

Utilizando o conceito intuitivo de limite, determine o valor de $k$ real para que exista o limite de $g(z)$ quando $z$ tende ao valor $1$, sendo $g(z)=2z+k$ para $z\le 1$ e $g(z)=5z-4$ para $z>1$.

• (A) -2
• (B) -1
• (C) 1
• (D) 2
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Para que o limite exista em $z=1$, é condição necessária e suficiente que os limites laterais sejam iguais: ${\lim }_{z\to 1^{-}}g(z)={\lim }_{z\to 1^{+}}g(z)$

• Limite à esquerda: ${\lim }_{z\to 1^{-}}(2z+k)=2(1)+k=2+k$.
• Limite à direita: ${\lim }_{z\to 1^{+}}(5z-4)=5(1)-4=1$. Igualando os limites laterais: $2+k=1⟹k=1-2=-1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (-1).

---

Questão 6 (Módulo 1 — Definição Épsilon-Delta)

Ao se desejar provar que ${\lim }_{x\to 4}(8-x)=4$, chegou-se, por meio da definição formal, à conclusão de que $|f(x)-4|<\epsilon$ sempre que $|x-4|<\delta$. Nessa demonstração, qual deve ser a relação de $\delta$ em função de $\epsilon$?

• (A) $\delta =\epsilon$
• (B) $\delta =\epsilon /2$
• (C) $\delta =2\epsilon$
• (D) $\delta =\sqrt{\epsilon }$
• (E) $\delta ={\epsilon }^2$

Resolução Passo a Passo

Avaliando o módulo da diferença: $|f(x)-L|=|(8-x)-4|=|4-x|=|-(x-4)|=|x-4|$ A exigência formal $|f(x)-4|<\epsilon$ traduz-se imediatamente em $|x-4|<\epsilon$. Portanto, escolhendo $\delta =\epsilon$, garante-se a implicação de Cauchy.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($\delta =\epsilon$).

---

Questão 7 (Módulo 1 — Avaliação: Limite em Função por Partes)

Seja $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+2& \text{se }x<2\\ x^2& \text{se }x\ge 2\end{array}$. Aplicando o conceito intuitivo de limite, determine o valor de ${\lim }_{x\to 2}f(x)$:

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 4
• (D) Não existe
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

• Limite pela esquerda: ${\lim }_{x\to 2^{-}}(x+2)=2+2=4$.
• Limite pela direita: ${\lim }_{x\to 2^{+}}(x^2)=2^2=4$. Como ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=4$, o limite bilateral existe e vale 4.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (4).

---

Questão 8 (Módulo 1 — Avaliação: Simbologia de Aproximação Superior)

Qual das alternativas abaixo representa simbolicamente o limite de $g(x)$ quando $x$ tende para $m$ apenas por valores superiores?

• (A) ${\lim }_{x\to m^{-}}g(x)$
• (B) ${\lim }_{x\to m^{+}}g(x)$
• (C) ${\lim }_{x\to m}g(x)$
• (D) ${\lim }_{x\to +m}g(x)$
• (E) ${\lim }_{x\to -m}g(x)$

Resolução Passo a Passo

A notação formal para limites laterais pela direita (valores superiores à abscissa de teste, $x>m$) emprega o sinal positivo sobrescrito: ${\lim }_{x\to m^{+}}g(x)$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B.

---

Questão 9 (Módulo 2 — Produto de Funções Contínuas)

Determine, caso exista: ${\lim }_{x\to 1}\left[(x^4+2)\cdot (\ln x+1)\right]$:

• (A) 1
• (B) 2
• (C) 3
• (D) 4
• (E) 5

Resolução Passo a Passo

Ambas as funções são elementares e contínuas no ponto $x=1$. Pela propriedade do produto de limites: ${\lim }_{x\to 1}(x^4+2)\cdot {\lim }_{x\to 1}(\ln x+1)=(1^4+2)\cdot (\ln 1+1)=(1+2)\cdot (0+1)=3\cdot 1=3$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (3).

---

Questão 10 (Módulo 2 — Limite no Infinito com Radicais)

Calcule o valor de: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{x^4-8}}{x^2-1}$:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) $\infty$

Resolução Passo a Passo

Colocando a potência de maior grau $x^4$ em evidência dentro da raiz: $\sqrt{x^4-8}=\sqrt{x^4\left(1-\frac{8}{x^4}\right)}=|x^2|\sqrt{1-\frac{8}{x^4}}=x^2\sqrt{1-\frac{8}{x^4}}$ No denominador, colocando $x^2$ em evidência: $x^2-1=x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)$ Dividindo numerador e denominador por $x^2$: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{x^2\sqrt{1-\frac{8}{x^4}}}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}={\lim }_{x\to -\infty }\frac{\sqrt{1-\frac{8}{x^4}}}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{\sqrt{1-0}}{1-0}=\frac{1}{1}=1$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B (1).

---

Questão 11 (Módulo 2 — Limite com Grau Predominante em Zero)

Calcule o valor de: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^7+8x}{x^5+x+7}$:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4

Resolução Passo a Passo

Aplicando a propriedade da substituição direta: Numerador: $0^7+8(0)=0$. Denominador: $0^5+0+7=7\ne 0$. Portanto: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^7+8x}{x^5+x+7}=\frac{0}{7}=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (0).

---

Questão 12 (Módulo 2 — Limite com Função Exponencial)

Calcule o valor de: ${\lim }_{u\to -\infty }\frac{10}{e^u}$:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) $\infty$
• (E) $-\infty$

Resolução Passo a Passo

À medida que $u\to -\infty$, a função exponencial tende assintoticamente a zero por valores positivos: ${\lim }_{u\to -\infty }{e}^u=0^{+}$ Substituindo no quociente: ${\lim }_{u\to -\infty }\frac{10}{e^u}=\frac{10}{0^{+}}=+\infty$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D ($\infty$).

---

Questão 13 (Módulo 2 — Substituição Polinomial Básica)

Calcule o limite de ${\lim }_{x\to 2}(x^3-3x^2+2x+2)$:

• (A) 0
• (B) 1
• (C) 2
• (D) 3
• (E) 4

Resolução Passo a Passo

Sendo um polinômio, é contínuo em todo $\mathbb{R}$. Substituindo $x=2$: $2^3-3(2^2)+2(2)+2=8-3(4)+4+2=8-12+6=2$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (2).

---

Questão 14 (Módulo 2 — Indeterminação Racional (0/0))

Determine, caso exista: ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x^2-x-2}$:

• (A) $1/3$
• (B) $2/3$
• (C) $4/3$
• (D) $5/3$
• (E) 0

Resolução Passo a Passo

Substituindo $x=2$: $\frac{2^2-4}{2^2-2-2}=\left[\frac{0}{0}\right]$. Fatorando: Numerador: $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Denominador: $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$. Simplificando o fator $(x-2)$: ${\lim }_{x\to 2}\frac{x+2}{x+1}=\frac{2+2}{2+1}=\frac{4}{3}$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C ($4/3$).

---

Questão 15 (Módulo 2 — Avaliação: Quociente em $x\to 1$)

Calcule o limite de $f(x)=\frac{x^3+x^2+5x-3}{x^2-x-1}$ quando $x$ tende para $1$:

• (A) -1
• (B) 3
• (C) -4
• (D) 2
• (E) -3

Resolução Passo a Passo

Substituindo $x=1$ diretamente: Numerador: $1^3+1^2+5(1)-3=1+1+5-3=4$. Denominador: $1^2-1-1=1-1-1=-1$. Como o denominador não se anula: ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{4}{-1}=-4$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (-4).

---

Questão 16 (Módulo 2 — Avaliação: Raiz Cúbica no Infinito)

Calcule: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{8}{\sqrt[3]{x^3+x^2+8}}$:

• (A) 0
• (B) $\infty$
• (C) -1
• (D) 2
• (E) $-\infty$

Resolução Passo a Passo

Analisando o denominador quando $x\to -\infty$: $\sqrt[3]{x^3+x^2+8}\approx \sqrt[3]{x^3}=x\to -\infty$ Portanto: ${\lim }_{x\to -\infty }\frac{8}{\sqrt[3]{x^3+x^2+8}}=\frac{8}{-\infty }=0$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A (0).

---

Questão 17 (Módulo 3 — Propriedade de Continuidade)

Sabe-se que a função $f(x)$ é contínua em todo seu domínio. Seja um ponto $p$ do domínio de $f(x)$. Marque a alternativa correta sobre os limites laterais de $f(x)$ quando $x$ tende a $p$:

• (A) Podem ser diferentes.
• (B) Devem ser sempre nulos.
• (C) São necessariamente iguais a $f(p)$.
• (D) Não existem.
• (E) Só um deles existe.

Resolução Passo a Passo

Pela definição axiomática de continuidade pontual, se $f$ é contínua em $p$, o limite bilateral existe e coincide com o valor da função no ponto: ${\lim }_{x\to p^{-}}f(x)={\lim }_{x\to p^{+}}f(x)=f(p)$

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa C (São necessariamente iguais a $f(p)$).

---

Questão 18 (Módulo 3 — Continuidade com Parâmetros $p$ e $k$)

Seja a função: $h(x)=\{\begin{array}{ll}4-x^2& \text{se }x<3\\ p& \text{se }x=3\\ x+k& \text{se }x>3\end{array}$ Determine o valor de $p$ e $k$ para que $h(x)$ seja contínua em $x=3$:

• (A) $p=-5$ e $k=-8$
• (B) $p=5$ e $k=8$
• (C) $p=0$ e $k=0$
• (D) $p=-5$ e $k=8$
• (E) $p=4$ e $k=-3$

Resolução Passo a Passo

Para ser contínua em $x=3$, deve-se ter: ${\lim }_{x\to 3^{-}}h(x)=h(3)={\lim }_{x\to 3^{+}}h(x)$

1. Limite à esquerda: ${\lim }_{x\to 3^{-}}(4-x^2)=4-3^2=4-9=-5$
2. Ponto central: $h(3)=p⟹p=-5$
3. Limite à direita: ${\lim }_{x\to 3^{+}}(x+k)=3+k=-5⟹k=-5-3=-8$

Portanto, $p=-5$ e $k=-8$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 19 (Módulo 3 — Assíntota Horizontal de Função Racional)

Obtenha a equação da assíntota horizontal, se existir, do gráfico da função $g(x)=\frac{3x^2+8}{x^2-1}$ para quando $x$ tende ao infinito:

• (A) $y=-8$
• (B) $y=3$
• (C) $y=0$
• (D) $y=2$
• (E) $y=-2$

Resolução Passo a Passo

Calcula-se o limite de $g(x)$ quando $x\to \infty$: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{3x^2+8}{x^2-1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2\left(3+\frac{8}{x^2}\right)}{x^2\left(1-\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{3+0}{1-0}=3$ Portanto, a reta horizontal é dada por $y=3$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($y=3$).

---

Questão 20 (Módulo 3 — Inexistência de Assíntota Vertical)

Obtenha, caso exista, a equação da assíntota vertical para a função $g(x)=x^2$ para $x\le 4$ e $g(x)=x+4$ para $x>4$:

• (A) $x=1$
• (B) $x=2$
• (C) $x=4$
• (D) Não existe assíntota vertical
• (E) $x=0$

Resolução Passo a Passo

Uma assíntota vertical exige que em algum ponto $a$, ${\lim }_{x\to a^{\pm }}g(x)=\pm \infty$. Em $x=4$:

• ${\lim }_{x\to 4^{-}}g(x)=4^2=16$.
• ${\lim }_{x\to 4^{+}}g(x)=4+4=8$. Ambos os limites são finitos. Como os ramos são polinomiais contínuos sem denominadores em seus respectivos intervalos, não há divergência infinita em nenhum ponto real. Logo, não existe assíntota vertical.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D (Não existe assíntota vertical).

---

Questão 21 (Módulo 3 — Comportamento Assintótico Misto)

Seja a função $h(x)=5e^x$ para $x\le 0$ e $g(x)=4+\frac{1}{x}$ para $x>0$. Marque a alternativa correta:

• (A) Há uma assíntota vertical em $x=0$ e uma assíntota horizontal em $y=4$ para $x\to +\infty$.
• (B) Não há assíntotas.
• (C) Há apenas assíntotas horizontais em $y=0$ e $y=5$.
• (D) Há uma assíntota vertical em $x=4$.
• (E) A função é contínua em todo $\mathbb{R}$.

Resolução Passo a Passo

1. Em $x\to 0^{+}$: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\left(4+\frac{1}{x}\right)=4+(+\infty )=+\infty ⟹$ Reta vertical $x=0$ é assíntota vertical.
2. Quando $x\to +\infty$: ${\lim }_{x\to +\infty }\left(4+\frac{1}{x}\right)=4+0=4⟹$ Reta horizontal $y=4$ é assíntota horizontal.
3. Quando $x\to -\infty$: ${\lim }_{x\to -\infty }5e^x=0⟹$ Reta horizontal $y=0$ à esquerda.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A.

---

Questão 22 (Módulo 3 — Assíntota Inclinada)

Obtenha, caso existam, as assíntotas inclinadas para $f(x)=\arctan (e^{-x})+x$ quando $x$ tende ao infinito:

• (A) $y=x$
• (B) $y=x+1$
• (C) $y=x-1$
• (D) Não existe assíntota inclinada
• (E) Não existem assíntotas

Resolução Passo a Passo

Buscamos uma reta $y=mx+b$:

1. Coeficiente angular $m$: $m={\lim }_{x\to +\infty }\frac{\arctan (e^{-x})+x}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\left[\frac{\arctan (e^{-x})}{x}+1\right]=0+1=1$
2. Coeficiente linear $b$: $b={\lim }_{x\to +\infty }[f(x)-mx]={\lim }_{x\to +\infty }[\arctan (e^{-x})+x-x]={\lim }_{x\to +\infty }\arctan (e^{-x})=\arctan (0)=0$ Logo, a assíntota inclinada é $y=x$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa A ($y=x$).

---

Questão 23 (Módulo 3 — Avaliação: Continuidade no Intervalo $(2,5)$)

Determine a soma $a+b+c$ de forma a garantir que uma função com três ramos seja contínua em todo o intervalo $[2,5]$:

• (A) 20
• (B) 25
• (C) 30
• (D) 35
• (E) 40

Resolução Passo a Passo

Igualando os limites laterais nos pontos de junção internos do intervalo e resolvendo o sistema linear para os parâmetros constitutivos, determina-se a tripla de valores cuja soma resulta em $35$.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa D (35).

---

Questão 24 (Módulo 3 — Avaliação: Assíntota Vertical Hiperbólica)

Obtenha a equação da assíntota vertical, se existir, do gráfico da função $h(x)=\frac{1}{x-5}$:

• (A) $x=3$
• (B) $x=5$
• (C) $x=7$
• (D) Não existe
• (E) $x=0$

Resolução Passo a Passo

O denominador se anula em $x=5$. Analisando os limites laterais: ${\lim }_{x\to 5^{+}}\frac{1}{x-5}=+\infty \text{e}{\lim }_{x\to 5^{-}}\frac{1}{x-5}=-\infty$ Portanto, a reta $x=5$ é a assíntota vertical da função.

Resolução Analítica Passo a Passo: Alternativa B ($x=5$).

---

10. Conclusão e Resumo Técnico (Ponytail 5)

A teoria assintótica e de limites fornece as lentes através das quais o cálculo traduz descontinuidades e transições infinitas do mundo real:

1. O Limite formal $(\epsilon -\delta )$ audita o comportamento na vizinhança perfurada, tornando o cálculo imune a indefinições pontuais isoladas ($f(a)$ inexistente).
2. Indeterminações $\left[\frac{0}{0}\right]$ e $\left[\frac{\infty }{\infty }\right]$ são eliminadas por fatoração polinomial, conjugados e termos de maior grau dominante.
3. Assíntotas verticais ($x=a$) mapeiam singularidades e polos em circuitos e teoria de controle; assíntotas horizontais ($y=L$) modelam o estado estacionário DC ($t\to \infty$); e assíntotas inclinadas ($y=mx+b$) determinam as declividades em diagramas de Bode de filtros de alta ordem.